Question

15．如图，在三棱柱ABM-DCN中，侧面ADNM⊥侧面ABCD，且侧面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AD=2，侧面ADNM是矩形，AM=1．E是AB的中点．
（1）求证：AN∥平面MEC；
（2）求三棱锥E-BCM的体积．

Answer 1

分析 （1）连结MD，设AN∩MD=G，取MC中点F，连结EF，GF，则利用中位线定理和平行公理可得四边形AEFG是平行四边形，得出AN∥EF，故而AN∥平面MEC；
（2）以△BCM为底面，则AM为棱锥的高，根据菱形的性质求出△BCE的面积，代入棱锥的体积公式计算．

解答 （1）证明连结MD，设AN∩MD=G，取MC中点F，连结EF，GF，
∵侧面ADNM是矩形，∴G是MD的中点，
∴GF是△MCD的中位线，
∴GF∥CD，GF=$\frac{1}{2}CD$，
∵侧面ABCD是菱形，E是AB的中点，
∴AE∥CD，AE=$\frac{1}{2}CD$，
∴GF∥AE，GF=AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，即AN∥EF，
又∵AN?平面MEC，EF?平面MEC，
∴AN∥平面MEC．
（2）解：∵侧面ADNM是矩形，∴AM⊥AD，
又∵侧面ADNM⊥侧面ABCD，侧面ADNM∩侧面ABCD=AD，AM?平面ADNM，
∴AM⊥平面ABCD．
∵侧面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AD=2，
∴BE=1，∠EBC=120°，BC=2，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}×1×2×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴V_E-BCM=V_M-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AM$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．