Question

12．曲线y=e${\;}^{\frac{1}{3}x}$在点（6，e²）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）

• A． $\frac{3}{2}{e}^{2}$
• B． 3e²
• C． 6e²
• D． 9e²

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0求得与y，x轴的交点，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：y=e${\;}^{\frac{1}{3}x}$的导数为y′=$\frac{1}{3}$e${\;}^{\frac{1}{3}x}$，
可得在点（6，e²）处的切线斜率为$\frac{1}{3}$e²，
即有在点（6，e²）处的切线方程为y-e²=$\frac{1}{3}$e²（x-6），
即为y=$\frac{1}{3}$e²x-e²，
令x=0，可得y=-e²；令y=0，可得x=3．
即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$•3•e²=$\frac{3}{2}$e²．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．