Question

2．在△ABC中，D，E分别在边AC，BC上，且$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BE}$，AE，BD交于F点，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$
（I）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AE}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{AE}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （I）运用向量的基本定理求解表示；
（II）运用基本定理得出$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AF}$$-\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{AE}$$-\overrightarrow{AB}$=（$\frac{2λ}{3}$-1）$\overrightarrow{a}$$+\frac{λ}{3}$$\overrightarrow{b}$，在运用共线条件得出即可．

解答 解：（I）$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$$+\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AC}$$-\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$$+\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

（II）∵$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{AE}$，
∴$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AF}$$-\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{AE}$$-\overrightarrow{AB}$=（$\frac{2λ}{3}$-1）$\overrightarrow{a}$$+\frac{λ}{3}$$\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$-\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$-\overrightarrow{a}$
∵$\overrightarrow{BF}$$∥\overrightarrow{BD}$
∴m$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BD}$，
∴$λ=\frac{3}{4}$

点评 本题考查了平面向量的基本定理的运用，注意几何图形的运用确定封闭图形表示向量，属于中档题．