Question

11．若曲线f（x）=$\frac{1}{aln（x+1）}$（e-1＜x＜e²-1）和g（x）=-x³+x²（x＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （e，e²）
• B． （e，$\frac{{e}^{2}}{2}$）
• C． （1，e²）
• D． [1，e）

Answer 1

分析 由题意设出A，B的坐标，代入函数解析式，利用中点坐标公式把B的坐标用A的坐标表示，由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$可得关于A的横坐标的方程，分离参数a后构造函数h（x）=$\frac{x+1}{ln（x+1）}$，利用导数求其在（e-1＜x＜e²-1）上的单调性，得到函数的值域得答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），y₁=f（x₁）=$\frac{1}{aln（{x}_{1}+1）}$，B（x₂，y₂），y₂=g（x₂）=-x₂³+x₂²（x＜0），
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=0，x₂=-x₁，∴${y}_{2}={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{1}}^{2}$．
$\overrightarrow{OA}=（{x}_{1}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{OB}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$，
由题意，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=0$，即${x}_{1}（-{x}_{1}）+\frac{1}{aln（{x}_{1}+1）}•（{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{1}}^{2}）$=0，
∴${{x}_{1}}^{2}[-1+\frac{{x}_{1}+1}{aln（{x}_{1}+1）}]=0$，
∵e-1＜x₁＜e²-1，
∴$\frac{{x}_{1}+1}{aln（{x}_{1}+1）}-1=0$，
则$a=\frac{{x}_{1}+1}{ln（{x}_{1}+1）}$．
设h（x）=$\frac{x+1}{ln（x+1）}$，则h′（x）=$\frac{ln（x+1）-1}{l{n}^{2}（x+1）}$，
∵e-1＜x＜e²-1，
∴h′（x）＞0，
即函数h（x）=$\frac{x+1}{ln（x+1）}$在（e-1＜x＜e²-1）上为增函数，
则$\frac{e-1+1}{ln（e-1+1）}＜a＜\frac{{e}^{2}-1+1}{ln（{e}^{2}-1+1）}$，
即e＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2}$．
∴实数a的取值范围是（e，$\frac{{e}^{2}}{2}$）．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力和推理运算能力，属中档题．