Question

15．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（1，sin2x），设函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，则下列关于函数y=f（x）的性质的描述正确的是（　　）

• A． 关于直线$x=\frac{π}{12}$对称
• B． 关于点$（{\frac{5π}{12}，0}）$对称
• C． 周期为2π
• D． y=f（x）在$（{-\frac{π}{3}，0}）$上是增函数

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，根据正弦函数的性质判断．

解答 解：f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
当x=$\frac{π}{12}$时，sin（2x+$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$≠±1，∴f（x）不关于直线x=$\frac{π}{12}$对称；
当x=$\frac{5π}{12}$时，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1=1，∴f（x）关于点（$\frac{5π}{12}$，1）对称；
f（x）得周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
当x∈$（{-\frac{π}{3}，0}）$时，2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$），∴f（x）在在$（{-\frac{π}{3}，0}）$上是增函数．
故选D．

点评 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．