Question

6．已知函数f（x）=3x+2sinx，x∈（-2，2），如果f（a-1）+f（1-2a）＜0成立，则实数a的取值范围为$（{0，\frac{3}{2}}）$．

Answer 1

分析 利用导数可判断函数的单调性，由定义可判断函数的奇偶性，根据函数的性质可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式可解．

解答 解：因为f′（x）=2cosx+3＞0恒成立，所以f（x）在R上递增，
又f（-x）=2sin（-x）+3（-x）=-2sinx-3x=-f（x），
所以f（x）为奇函数，
则f（a-1）+f（1-2a）＜0，可化为f（a-1）＜f（2a-1），
由f（x）递增，得$\left\{\begin{array}{l}{a-1＜2a-1}\\{-2＜a-1＜2}\\{-2＜2a-1＜2}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜$\frac{3}{2}$，
故答案为：$（{0，\frac{3}{2}}）$．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，属中档题．