Question

16．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）的点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx（x＞0），
∴$f'（x）=2x-3+\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$，∴f（1）=-2，f'（1）=0．
∴切线方程为y=-2．
（2）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞），
当a＞0时，$f'（x）=2ax-（{a+2}）+\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}-（{a+2}）x+1}}{x}$=$\frac{{（{2x-1}）（{ax-1}）}}{x}$，
令f'（x）=0得$x=\frac{1}{2}$或$x=\frac{1}{a}$．
①当$0＜\frac{1}{a}≤1$，即a≥1时，f（x）在[1，e]上递增．
∴f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=-2，符合题意；
②当$1＜\frac{1}{a}＜e$，即$\frac{1}{e}＜a＜1$时，f（x）在$[{1，\frac{1}{a}}]$上递减，在$[{\frac{1}{a}，e}]$上递增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值为$f（{\frac{1}{a}}）＜f（1）=-2$，不合题意；
③当$\frac{1}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e]上递减，
∴f（x）在[1，e]上的最小值为f（e）＜f（1）=-2，不合题意；
综上，a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．