Question

13．（重点中学做）设函数y=ln（-x²-2x+8）的定义域为A，函数y=x+$\frac{1}{x+1}$的值域为B，不等式ax²+（4a-$\frac{1}{a}$）x-$\frac{4}{a}$≤0（a≠0且a∈R）的解集为C．
（1）求A∩B；（2）若C⊆∁_RA，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据真数大于0，解不等式求出A，根据对勾函数的图象和性质，求出集合B，进而可得A∩B；
（2）根据（1）先求出∁_RA，再由C⊆∁_RA对a进行分类讨论，可得a的取值范围．

解答 解：（1）由-x²-2x+8＞0得：x∈（-4，2），
∴A=（-4，2），
由y=x+$\frac{1}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$-1∈（-∞，-3]∪[1，+∞），
∴B=（-∞，-3]∪[1，+∞），
∴A∩B=（-4，-3]∪[1，2），
（2）∁_RA=（-∞，-4]∪[2，+∞），
解ax²+（4a-$\frac{1}{a}$）x-$\frac{4}{a}$=0得：x=-4，或x=$\frac{1}{{a}^{2}}$，
当a＞0时，解不等式ax²+（4a-$\frac{1}{a}$）x-$\frac{4}{a}$≤0得：x∈[-4，$\frac{1}{{a}^{2}}$]，不满足C⊆∁_RA，
当a＜0时，解不等式ax²+（4a-$\frac{1}{a}$）x-$\frac{4}{a}$≤0得：x∈（-∞，-4]∪[$\frac{1}{{a}^{2}}$，+∞），
由C⊆∁_RA得：$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2，解得：a∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∴a的取值范围为[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）

点评 本题考查的知识点是集合的交集，补集运算和集合的关系，函数的定义域，值域，解二次不等式，是集合，函数，不等式的综合应用，难度中档．