Question

已知函数f(x)=

4x-2

x+1

(x≠-1，x∈R)，数列{a_n}满足 a₁=a（a≠-1，a∈R），an+1=f(an)(n∈N*)．
（1）若数列{a_n}是常数列，求a的值；
（2）当a₁=4时，记bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，证明数列{b_n}是等比数列，并求

lim

n→∞

an．

Answer 1

分析：（1）由已知数列{a_n}是常数列，可得a_n+1=a_n=a，结合a_n+1=f（a_n）及已知函数f（x）可得关于a的方程，可求a
（2）由a1=4，bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，及a_n+1=f（a_n）=

4an-2

an+1

，利用递推关系可求b_n+1与b_n的关系，可证{b_n}为等比数列，进而可求b_n，代入bn=

an-2

an-1

可求a_n，可求极限

解答：（1）解：∵f(x)=

4x-2

x+1

，a1=a，an+1=f(an)(n∈N*)，数列{a_n}是常数列，
∴a_n+1=a_n=a，即a=

4a-2

a+1

，解得a=2，或a=1．
∴所求实数a的值是1或2．
（2）证明：∵a1=4，bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，
∴b1=

2

3

，bn+1=

an+1-2

an+1-1

=

4an-2 an+1 -2

4an-2 an+1 -1

=

2

3

an-2

an-1

，
即bn+1=

2

3

bn(n∈N*)．
∴数列{b_n}是以b1=

2

3

为首项，公比为q=

2

3

的等比数列，
于是bn=

2

3

(

2

3

)n-1=(

2

3

)n(n∈N*)．
由bn=

an-2

an-1

，即

an-2

an-1

=(

2

3

)n，
解得an=

( 2 3 )n-2

( 2 3 )n-1

(n∈N*)．
∴

lim

n→∞

an=2．

点评：本题主要考查 了利用数列的递推公式证明等比数列，求解数列的通项公式，及数列极限的求解，试题具有一定的综合性