Question

B．（不等式选做题）若关于x的方程x2+x+|a-

1

4

|+|a|=0(a∈R)有实根，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据题意，利用一元二次方程根的判别式可得△=1²-4（|a-

1

4

|+|a|）≥0，化简得|a-

1

4

|+|a|≤

1

4

，再根据a的取值范围进行分类讨论，分别去绝对值解关于a的不等式，最后取并集可得实数a的取值范围．

解答：解：∵关于x的方程x2+x+|a-

1

4

|+|a|=0(a∈R)有实根，
∴△=1²-4（|a-

1

4

|+|a|）≥0，化简得|a-

1

4

|+|a|≤

1

4

．
①当a＜0时，不等式可化为（-a+

1

4

）-a≤

1

4

，解得a≥0，故不存在符合题意的a值；
②当0≤a≤

1

4

时，不等式可化为（a-

1

4

）+a≤

1

4

，解得a≤

1

4

，故0≤a≤

1

4

；
③当a＞

1

4

时，不等式可化为（a-

1

4

）+a≤

1

4

，解得a≤

1

4

，故不存在符合题意的a值．
综上所述，可得0≤a≤

1

4

，即实数a的取值范围是[0，

1

4

]．
故答案为：[0，

1

4

]

点评：本题给出关于x的一元二次方程有实数解，求实数a的取值范围．着重考查了绝对值不等式的解法、一元二次方程根的判别式等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．