Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=4x相交于A、B两点，且

OA

•

OB

=-4．
（1）求直线l恒过一定点的坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于-4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．
（2）假设线段中点坐标，利用中点坐标公式，寻找坐标之间的关系即可求得．

解答：解：（1）设l：x=ty+b代入抛物线y²=4x，消去x得y²-4ty-4b=0设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，∴b=2．
∴直线l过定点（2，0）．
（2）设线段AB的中点M（x，y），
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在曲线y²=4x上
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂
两式作差得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=4（x₂-x₁）
即

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=k
则

y= y1+y2 2 = 2 k y=k(x-2)

…（12分）
∴线段AB的中点M的轨迹方程  y²=2（x-2）…（14分）

点评：本题主要考查向量的数量积的运算，考查轨迹方程的求解，利用了代入法，属于中档题．