Question

6．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AB₁与平面ABC₁D₁所成的角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．不妨时AB=1，取平面ABC₁D₁的法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），则直线AB₁与平面ABC₁D₁所成的角的正弦值=|cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨时AB=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B₁（1，1，1），
A₁（1，0，1）．
则$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），
取平面ABC₁D₁的法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），
则直线AB₁与平面ABC₁D₁所成的角的正弦值
=|cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了空间位置关系、法向量的应用、线面角、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．