Question

【题目】已知函数f（x）=ex（sinx+cosx）+a，g（x）=（a2﹣a+10）ex（a为常数）．
（1）已知a=0，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）当0≤x≤π时，求f（x）的值域；
（3）若存在x1、x2∈[0，π]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜13﹣e 成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0时，f（x）=ex（sinx+cosx），

f′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=2excosx，

∴f′（0）=2，f（0）=1，

∴切线方程为：y﹣1=2（x﹣0），即2x﹣y﹣1=0为所求的切线方程

（2）解：由f′（x）=2excosx≥0，得0≤x≤ ，f′（x）=2excosx≤0，得 ≤x≤π．

∴y=f（x）在[0， ]上单调递增，在[ ，π]上单调递减．

∴ymax=f（ ）= +a．

f（0）=1+a，f（π）=﹣eπ+a＜f（0），ymin=f（π）=﹣eπ+a，

∴f（x）的值域为[﹣eπ+a， +a]

（3）解：∵a2﹣a+10＞0，∴g（x）在[0，π]上是增函数，

g（0）=a2﹣a+10，g（π）=（a2﹣a+10）eπ，

∴g（x）的值域为[a2﹣a+10，（a2﹣a+10）eπ]．

∵a2﹣a+10﹣（ +a）=（a﹣1）2+（9﹣ ）＞0，

依题意，a2﹣a+10﹣（ +a）＜13﹣ ，

即a2﹣2a﹣3＜0，解得：﹣1＜a＜3

【解析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数，再求出f（0），然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）由原函数的导函数的符号确定原函数的单调区间，从而求得原函数的极大值点，得到函数的最大值，再求出端点值得答案；（3）由a2﹣a+10＞0，得g（x）在[0，π]上是增函数，从而求得g（x）的值域．由题意得到a2﹣a+10﹣（ +a）＜13﹣ ，求解关于a的不等式得答案．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．