Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x）（x＜0）}\end{array}\right.$，函数g（x）=[f（x）]²+f（x）+t，t∈R，则下列判断不正确的是（　　）

• A． 若t=$\frac{1}{4}$，则g（x）有一个零点
• B． 若-2＜t＜$\frac{1}{4}$，则g（x）有两个零点
• C． 若t＜-2，则g（x）有四个零点
• D． 若t=-2，则g（x）有三个零点

Answer 1

分析 由题意作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x）（x＜0）}\end{array}\right.$的图象，再讨论t以确定[f（x）]²+f（x）+t=0的解与解的位置，从而结合图象解得．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x）（x＜0）}\end{array}\right.$的图象如下，

当t=$\frac{1}{4}$时，由[f（x）]²+f（x）+t=0得f（x）=-$\frac{1}{2}$，
故结合图象知g（x）有一个零点；
当-2＜t＜$\frac{1}{4}$时，[f（x）]²+f（x）+t=0有两个根，
其中一根小于-$\frac{1}{2}$，另一根大于-$\frac{1}{2}$且小于1；
故结合图象知g（x）有两个零点；
当t＜-2时，[f（x）]²+f（x）+t=0有两个根，
其中一根小于-$\frac{1}{2}$，另一根大于1；
故结合图象知g（x）有三个零点；
故C不正确，
故选：C．

点评 本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的零点的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．