Question

7．如图，平面中两条直线l₁和l₂相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l₁和l₂的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．
给出下列四个命题：
①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个．
②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个．
③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．
④若p=q，则点M的轨迹是一条过O点的直线．
其中所有正确命题的序号为①②③．

Answer 1

分析 根据点M的“距离坐标”的定义即可判断出正误．

解答 解：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，正确．
②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（0，q）（q≠0）或（p，0）（p≠0），因此满足条件的点有且仅有2个，
正确．
③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个，如图所示，正确．
④若p=q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此不正确．
综上可得：只有①②③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力、数形结合的思想方法，属于中档题．