Question

已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l₁：x=-2的距离为d₁，到点F（-1，0）的距离为d₂，且．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l₁：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出P的坐标，利用已知条件列出方程求解求动点P所在曲线C的方程；
（2）利用直线l与椭圆的故选列出方程，求出两个坐标的关系，通过点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．
（3）利用弦长公式两点距离公式，求出S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），使成立．求出λ的值即可．
解答：解 （1）设动点为P（x，y），依据题意，有，化简得．              …（3分）
因此，动点P所在曲线C的方程是：．              …（4分）
（2）点F在以MN为直径的圆的外部．
理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my-1，如图所示．                           （5分）
联立方程组，可化为（2+m²）y²-2my-1=0，
则点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足．                         （7分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得点M（-2，y₁）、N（-2，y₂）．
因，，则=．（9分）
于是，∠MFN为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．                 （10分）
（3）依据（2）可算出，，
则  ==，==．              （15分）
所以，，即存在实数λ=4使得结论成立．            （16分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系与直线与圆的位置关系的判断，三角形的面积公式的应用，向量数量积的应用，考查计算能力，转化思想．