Question

已知正数数列{a_n}的前n项和S_n满足：2S_n=a_n²+a_n
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

2an

(2an-1)(2an+1-1)

+（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前2n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）当n=1时，求出a₁=1，2Sn=an2+an，2Sn+1=an+12+an+1两式相减得：a_n+1-a_n=1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）由（Ⅰ）得bn=

2n

(2n-1) (2n+1-1)

+(-1)nn，由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前2n项和．

解答： 解：（I）当n=1时，a₁=S₁＞0，
所以2a1=a12+a1⇒a1=1，
又2Sn=an2+an，2Sn+1=an+12+an+1，
两式相减得：a_n+1-a_n=1，
所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列
故数列{a_n}的通项公式为a_n=n…（6分）
（II）由（Ⅰ）得bn=

2n

(2n-1) (2n+1-1)

+(-1)nn，
记数列{b_n}的前2n项和为T_2n，
则T2n=

2n

k=1

2k

(2k-1) (2k+1-1)

+(-1+2-3+4-…+2n)
记A=

2n

k=1

2k

(2k-1) (2k+1-1)

， B=-1+2-3+4-…+2n，
A=

2n

k=1

(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)=1-

1

22n+1-1

，

A= 2(1-22n) 1=2 =22n+1-2 B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.

故数列{b_n}的前2n项和：
T2n=A+B=22n+1+n-2n+1-

1

22n+1-1

…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．