Question

设椭圆C:的离心率，右焦点到直线1的距离，O为坐标原点.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A、B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值.

 

Answer 1

(1);(2)．

【解析】

试题分析：

解题思路：(1)利用离心率及点到直线的距离公式求解即可；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，整理成关于的一元二次方程，利用求解.

规律总结：直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般综合性强.一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程，整理得关于的一元二次方程，常用“设而不求”的方法进行求解.

试题解析：（1）由得，即

由右焦点到直线的距离为

得，解得，

所以椭圆C的方程为.

（2）设A B

直线AB的方程为y=kx+m与椭圆联立消去y得

∵OA⊥OB,

即

整理得

所以O到直线AB的距离

∵OA⊥OB，∴

当且仅当OA=OB时取“=”

由得

.

即弦的长度最小值是.

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.