Question

【题目】如图，在四棱锥中， 底面，底面为矩形，且， 为的中点.

（1）过点作一条射线，使得，求证：平面平面；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由题意画出图形，连接AC交BD于F，连接FE，由底面ABCD为矩形，得F为AC的中点，又E为PC的中点，利用三角形中位线定理可得EF∥PA，则PA∥平面BDE，再由AG∥BD，利用线面平行的判定可得AG∥平面BDE，结合面面平行的判定得平面PAG∥平面BDE；

（2）取CD的中点H，连接EH，则EH∥PD，因为PD⊥底面ABCD，所以EH⊥底面ABCD，

过H作MH⊥BD，垂足为M，连接EM，则∠EMH就是二面角E-BD-C的平面角，求出即可.

试题解析：

（1）在矩形ABCD中，连接AC，

设其与BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，

又E是PC的中点，所以 OE∥PA，

又平面BDE， 平面BDE，所以PA∥平面BDE

同理AG∥平面BDE.

因为AG=A，

所以平面PAG∥平面BDE.；

（2）取CD的中点H，连接EH，则EH∥PD，

因为PD⊥底面ABCD，所以EH⊥底面ABCD，

过H作MH⊥BD，垂足为M，连接EM，

则∠EMH就是二面角E-BD-C的平面角

令AD＝１．则PD＝１，AB＝２，

在Rt△EMH中，易求得EH＝，MH＝，

∠EMH＝

所以二角面E-BD-C的正切值为