Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（3）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，

∴AD⊥DC，

∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，

∴PD⊥DC，

∵PD∩AD=D，

∴CD⊥平面PAD，

∵CD平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．

（2）解：∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，

PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点，

∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），

=（1，1，0）， =（0，2，﹣1），

设直线AC与PB所成角为θ，

则cosθ= = = ．

∴直线AC与PB所成角的余弦值为 ．

（3）解：A（0，0，0），M（0，1， ），C（1，1，0），B（0，2，0），

=（1，1，0）， =（0，1， ）， =（1，﹣1，0）， =（0，﹣1， ），

设平面ACM的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣1，2），

设平面BCM的法向量 =（a，b，c），

则 ，取a=1，得 =（1，1，2），

设二面角A﹣MC﹣B的平面角为α，

则cosα= = = ．

∵二面角A﹣MC﹣B是钝二面角，

∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）推导出AD⊥DC，PD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值．（3）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣MC﹣B的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角和平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．