Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣ ．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；
（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于 ，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数 是奇函数．

∵定义域：（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，

且

∴函数 是奇函数

（2）证明：设任意实数x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2

则 ﹣（ ）═

═ = =

∵x1＜x2，x1，x2∈[1，+∞）

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2+1＞0，

∴ ＜0

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）

∴函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数

（3）解：∵[2，a][1，+∞）

∴函数f（x）在区间[2，a]上也为增函数．

∴ ，

若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于 ，

则

解得a≥4，

∴a的取值范围是[4，+∞）

【解析】（1）判断出函数是奇函数再证明，确定函数定义域且关于原点对称，利用奇函数的定义可判断；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明按照取值、作差、变形定号、下结论步骤即可；（3）根据（2）的结论得函数在区间[2，a]上的单调性，再求出最大值、最小值，根据条件列出不等式求出a得范围．
【考点精析】关于本题考查的函数奇偶性的性质和利用导数研究函数的单调性，需要了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．