Question

已知函数f(x)=

2x2+x+a

x

（1）对任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）对任意的x∈[1，+∞），f（x）的值域是[0，+∞），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对称轴和闭区间都是固定的，就转化为求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值大于等于0的问题，可求a的取值范围；
（2）先将函数化简，再对a进行讨论，从而利于基本不等式研究函数的最值，进而得解．

解答：解：（1）由题意，

2x2+x+a

x

≥0 在x∈[1，+∞）上恒成立
即2x²+x+a≥0在x∈[1，+∞）上恒成立
由于函数g（x）=2x²+x+a在x∈[1，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（1）=2+1+a≥0
∴a≥-3
（2）由题意有f(x)=2x+

a

x

+1
当a≥0时，∵x≥1
∴f(x)=2x+

a

x

+1≥2

2a

+1与函数的值域是[0，+∞）矛盾；
当a＜0时，f(x)=2x+

a

x

+1在x∈[1，+∞）上是一个增函数
∴f（x）_min=f（1）=2+a+1=0
∴a=-3

点评：求二次函数的最值问题，关于给定解析式的二次函数在不固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论