Question

2．已知正项等比数列{a_n}中，a₁=2，a₂a₆=256．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：a₂=a₁•q，a₆=a₁•q⁵，由a₂a₆=256，即${a}_{1}^{2}$•q⁶=256，即可求得q=2，根据等比数列通项公式即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：b₃=8，b₅=32，设{b_n}的公差为d，由$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+2d=8}\\{{b}_{1}+4d=32}\end{array}\right.$，求得数列{b_n}是以-16为首项．以12为公差的等差数列，根据等差数列通项公式及前n项和公式即可求得数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n．

解答 解：（1）设{a_n}的公比为q，a₂=a₁•q，a₆=a₁•q⁵，
由a₂a₆=256．即${a}_{1}^{2}$•q⁶=256，解得：q=2，
由等比数列通项公式可知：a_n=a₁•q^n-1=2ⁿ，
数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；-------------------------（6分）
（2）由（1）得a₃=8，a₅=32，
则b₃=8，b₅=32，设{b_n}的公差为d，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+2d=8}\\{{b}_{1}+4d=32}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=-16}\\{d=12}\end{array}\right.$，
∴数列{b_n}是以-16为首项．以12为公差的等差数列，
由等差数列通项公式可知：b_n=b₁+（n-1）d=12n-28，
数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n（-16+12n-28）}{2}$=6n²-22n，
数列{b_n}的前n项和S_n，S_n=$\frac{n（-16+12n-28）}{2}$=6n²-22n．-------------------------（12分）

点评 本题考查等差数列通项公式及前n项和公式，考查等比数列通项公式的应用，考查计算能力，属于中档题．