Question

13．已知函数f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+n（n∈R），若f（x）的定义域和值域均为[2，m]．
（1）求m，n的值；
（2）若关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}{x}^{2}-3x+4≥a}\\{\frac{3}{4}{x}^{2}-3x+4≤b}\end{array}\right.$的解集为[a，b]，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+n=$\frac{3}{4}$（x-2）²+n-3，我们可以判断出函数在区间[2，m]上为增函数，由已知得到关于m，n的方程，解方程即可；
（2）设f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+4，其函数图象是抛物线，画两条与x轴平行的直线y=a和y=b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y=a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a小于或等于抛物线的最小值且a与b所对应的函数值相等且都等于b，利用f（b）=b求出b的值，由抛物线的对称轴求出a的值．

解答 解：（1）由已知f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+n
=$\frac{3}{4}$（x-2）²+n-3，
所以函数在区间[2，m]上为增函数，
因为定义域和值域均为[2，m]（m＞2），
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=n-3=2}\\{f（m）=\frac{3}{4}（m-2）^{2}+n-3=m}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{10}{3}$，n=5；
（2）设f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+4，
当x=-$\frac{-3}{2×\frac{3}{4}}$=2时，f（x）_min=1，
由题意知a≤1，且f（a）=f（b）=b，a＜b；
由f（b）=b得$\frac{3}{4}$b²-3b+4=b，
解得b=$\frac{4}{3}$（舍去），或b=4，
∵抛物线的对称轴为x=2，
∴a=0；
即为a=0，b=4．

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次函数的图象和性质，判断出函数在区间[2，m]上为增函数及a≤1，且f（a）=f（b）=b是解答本题的关键．