Question

5．已知向量$\overrightarrow a=（\sqrt{2}sinωx，cosωx+sinωx），\overrightarrow b=（cosωx，\frac{{\sqrt{6}}}{2}cosωx-\frac{{\sqrt{6}}}{2}sinωx）$，其中0＜ω＜2，函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$+1，且f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，在x=$\frac{π}{12}$处取得最大值．
（1）求f（x）的解析式及单调增区间；
（2）若$x∈[{\left.{\frac{5π}{24}，\frac{2π}{3}}]}$，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）．由题意可得2ωx+$\frac{π}{3}$=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：ω=12k+1，k∈Z，结合范围0＜ω＜2，解得ω，即可求得f（x）的解析式． 由2k$π-\frac{π}{2}≤$2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得单调增区间．
（2）由$x∈[{\left.{\frac{5π}{24}，\frac{2π}{3}}]}$，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{3}$]，求得f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，由f（x）≥m恒成立，即可解得m的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$+1=$\sqrt{2}$sinωxcosωx+（sinωx+cosωx）（$\frac{\sqrt{6}}{2}$cosωx-$\frac{\sqrt{6}}{2}$sinωx）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{6}}{2}$cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）．
∵f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，在x=$\frac{π}{12}$处取得最大值．
∴2ωx+$\frac{π}{3}$=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：ω=12k+1，k∈Z，
∴由0＜ω＜2，解得：ω=1，
∴f（x）的解析式是：f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{3}）$…（6分） 
由2k$π-\frac{π}{2}≤$2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得单调增区间是：$[{\left.{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]（k∈z）}\right.$…（8分）
（2）∵$x∈[{\left.{\frac{5π}{24}，\frac{2π}{3}}]}$，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{3}$]，f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，
∵f（x）≥m恒成立，
∴解得：m$≤-\sqrt{2}$（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，考查了函数恒成立问题，属于中档题．