Question

10．已知向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{c}$=3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值；
（2）若$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积运算性质即可得出；
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|cos60°=3×2×\frac{1}{2}=3$．
（2）∵$\overrightarrow c⊥\overrightarrow d$，
∴$（3\overrightarrow a+5\overrightarrow b）•\;（m\overrightarrow a-\overrightarrow b）=0$．
∴$3m{\overrightarrow a^2}-5{\overrightarrow b^2}+（5m-3）\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$．
∴$3m|\overrightarrow a{|^2}-5|\overrightarrow b{|^2}+（5m-3）×\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$．
∴3m×3²-5×2²+（5m-3）×3=0，
∴$m=\frac{29}{42}$．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．