【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求证:当时,.
【答案】(1)f(x)的单调增区间为(1,+∞), 单调减区间为(0,1);(2)见解析.
【解析】
(Ⅰ)明确定义域,求出导函数,解不等式即可得到函数的单调区间;
(Ⅱ)作差构造新函数,研究函数的最值即可.
(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0},
∵f′(x)=2x-2=,
由f′(x)>0, 得x>1; 由f′(x)<0, 得0<x<1
∴f(x)的单调增区间为(1,+∞), 单调减区间为(0,1).
(2)设g(x)=f(x)-3x+1=x2-2lnx-3x+4,
∴g′(x)=2x-2--3=,
∵当x>2时,g′(x)>0,
∴g(x)在(2,+∞)上为增函数,
∴g(x)>g(2)=4-2ln2-6+4>0,
∴当x>2时, x2-2lnx>3x-4,
即当x>2时..
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分12分)在一个选拔项目中,每个选手都需要进行4轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰。已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响。
(Ⅰ)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率;
(Ⅲ)该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为,求随机变量的分布列和期望。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(14分)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=﹣ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(I)求实数b的值;
(II)求函数f(x)的单调区间;
(III)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由.
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