Question

【题目】已知函数．

若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；

当时，若函数在上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

求出函数的导数，得到极值点，当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性，利用函数的极值结合函数的零点推出函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数有两个极值点，推出，.若，由可得的值；若，由可得，不符合题意舍去，通过若；若，转化求解即得到实数的值．

，

由，得到，，

当时，在区间上恒成立，

即函数在区间上单调递增，

又因为函数的图象过点，即，

所以函数在内没有零点，不合题意，

当时，由得，即函数在区间上单调递增，

由得，即函数在区间在上单调递减，

且过点，要使函数在内有且只有一个零点，则须，

即，解得，

综上可得函数在内有且只有一个零点时，

此时函数的单调递增区间为，，单调递减区间为

当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，

此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，

且，，，

若，即，也即时，此时，

又，

由可得，即，符合题意

若，即，也即时，

此时，，

由可得，即，不符合题意舍去，

又

，

若，即，也即时，此时，

由可得，即，不符合题意舍去

若，即，也即时，此时，

由可得，即，不符合题意舍去，

综上所述可知所求实数a的值为