Question

【题目】已知函数，，（为自然对数的底数），且曲线与在坐标原点处的切线相同.

（1）求的最小值；

（2）若时，恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由于曲线与在坐标原点处的切线相同，即它们在原点的导数相同，，，且切点为原点，，解得.所以，当时，；当时，，所以当时，取得最小值为；（2）由（1）知，，即，从而，即.构造函数，利用导数并对分类讨论的图象与性质，由此求得实数的取值范围.

试题解析：

（1）因为，，

依题意，，且，解得，

所以，当时，；当时，.

故的单调递减区间为，单调递增区间为.

∴当时，取得最小值为0.

（2）由（1）知，，即，从而，即.

设，

则，

（1）当时，因为，∴（当且仅当时等号成立）

此时在上单调递增，从而，即.

（2）当时，由于，所以，

又由（1）知，，所以，故，

即.（此步也可以直接证）

（3）当时，令，则，

显然在上单调递增，又，，

所以在上存在唯一零点，

当时，，∴在上单调递减，

从而，即，所以在上单调递减，

从而当时，，即，不合题意.

综上，实数的取值范围为.