Question

【题目】市场上有一种新型的强力洗衣粉，特点是去污速度快，已知每投放（且）个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起有效去污的作用.

（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？

（2）若先投放2个单位的洗衣液，6分钟后投放个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当时，代入，依题意有效去污满足，即或，解得，故有效去污时间可能达分钟；（2）由于某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，故设项对应的浓度为，此时，，，，令，将浓度相加，得，分离参数得，利用换元法和基本不等式求得，故的最小值为.

试题解析：

（1）由题意知有效去污满足，则或

得，所以有效去污时间可能达8分钟.

（2），，，

令，，

∴，若令，，

又，

所以的最小值为1.6.