Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，直线：，圆：.

（1）求的取值范围，并求出圆心坐标；

（2）若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程；

（3）有一动圆的半径为1，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的取值范围为，圆心坐标为；（2）或；（3）.

【解析】

（1）把圆的方程化为标准式，即得的取值范围及圆心坐标；

（2）把点的坐标代入圆的方程，可得点在圆外.设过点的切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求出的值，即得切线方程；

（3）设圆心，写出圆的方程.由，可得点在线段的中垂线上，求出直线的方程，则圆和直线的公共点即为点.由圆心到直线的距离小于等于半径1，可得的取值范围.

（1）化为，

由得，∴的取值范围为，圆心坐标为.

（2）由（1）知圆心的坐标为，当半径为1时，

圆的方程为：，将代入，

得，∴在圆外，

设所求圆的切线方程为，即，∴.

∴，∴，

∴或者，∴所求圆的切线方程为：或者，

即或.

（3）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心，又半径为1，

则圆的方程为：，

又∵，

∴点在的中垂线上，的中点得直线：，

∴点应该既在圆上又在直线上，即圆和直线有公共点.

∴，∴.

综上所述，的取值范围为：.