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    【题目】（本小题满分12分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰。已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。

    （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

    （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；

    （Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为，求随机变量的分布列和期望。

    【答案】（I）

    （II）

    （III）X的分布列为

    X

    1

    2

    3

    4

    P





    【解析】

    （Ⅰ）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”。

    由已知，，，。

    （Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则

    …………………3分

    （Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则

    …………………6分

    （Ⅲ）X的可能取值为1,2,3,4。

    ；；；

    ∴X的分布列为

    X

    1

    2

    3

    4

    P





    ∴。 ………………12分

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    (Ⅱ)求证：当时，.

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