如图.在三棱锥A-BCD中.AB.BC.CD两两垂直． (Ⅰ)由该棱锥所有相邻的两个面组成的二面角中.哪些是直二面角?(要求全部写出.并说明理由) (Ⅱ)若AD与平面BCD所成的角为.AD与平面ABC所成的角为.求二面角B-AD-C的余弦值, (Ⅲ)若AD与平面BCD所成的角为α.AD与平面ABC所成的角为β.且AD＝6.则当α.β为何值时.三棱锥A-BCD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在三棱锥A—BCD中，AB、BC、CD两两垂直．

(Ⅰ)由该棱锥所有相邻的两个面组成的二面角中，哪些是直二面角？(要求全部写出，并说明理由)

(Ⅱ)若AD与平面BCD所成的角为，AD与平面ABC所成的角为，求二面角B—AD—C的余弦值；

(Ⅲ)若AD与平面BCD所成的角为α，AD与平面ABC所成的角为β，且AD＝6，则当α、β为何值时，三棱锥A—BCD的体积最大，最大值是多少？

答案：
解析：

　　本小题考查空间线面关系与空间角的概念，考查逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．

　　解：(I)∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC∩CD＝C，

　　∴AB⊥平面BCD．∵AB平面ABD，

　　∴平面ABD⊥平面BCD，

　　同理平面ABC⊥平面BCD．

　　∵CD⊥BC，CD⊥AB，BC∩AB＝B，

　　∴CD⊥平面ABC．∵CD平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．

　　因此有三个直二面角：A—BD─C，A—BC─D，D─AC─B．

　　(Ⅱ)由AB⊥平面BCD可知，∠ADB即AD与平面BCD所成的角，

　　∴∠ADB＝．同理可得∠DAC＝．

　　如图，过B作BE⊥AC，垂足为E，作BF⊥AD，垂足为F．连结EF．

　　由(Ⅰ)知，平面ACD⊥平面ABC，∴BE⊥平面ACD．

　　∵BF⊥AD，由三垂线定理的逆定理可知，EF⊥AD，

　　∴∠BFE是二面角B─AD─C的平面角．

　　∵EF＝AFtan＝AF，BF＝AFtan()＝AF，

　　∴cos∠BFE．

　　即二面角B─AD─C的余弦值为．

　　(Ⅲ)∵AD＝6，∠ADB＝α，∠DAC＝β．

　　∴AB＝6sinα，BD＝6cosα，CD＝6sinβ

　　V＝·CD)·AB

　　＝

　　＝36sinβsinα

　　＝36

　　≤36

　　当且仅当，即α＝β＝arctan时，等号成立．

　　故当α＝β＝arctan时，三棱锥A—BCD的体积最大，最大值为4．

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