Question

3．已知函数f（x）=-x²+4x+1，其中x∈[-1，t]，函数的值域为[-4，5]，则t的取值范围是[2，5]．

Answer 1

分析 求出原函数的对称轴，由-x²+4x+1=-4，可得x=-1或5，要使函数f（x）=-x²+4x+1，其中x∈[-1，t]，函数的值域为[-4，5]，即可求出实数t的取值范围．

解答 解：函数f（x）=-x²+4x+1=-（x-2）²+5，对称轴方程为x=2，在[-1，2]上为增函数，[2，t]上为减函数
由-x²+4x+1=-4，可得x=-1或5，
∴要使函数f（x）=-x²+4x+1，其中x∈[-1，t]，函数的值域为[-4，5]，
∴实数t的取值范围是[2，5]．
故答案为：[2，5]．

点评 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了二次函数的单调性，是中档题