Question

在平面直角坐标系中，已知点A(

1

2

，0)，向量

e

=(0，1)，点B为直线x=-

1

2

上的动点，点C满足2

OC

=

OA

+

OB

，点M满足

BM

•

e

=0，

CM

•

AB

=0．
（1）试求动点M的轨迹E的方程；
（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），B（-

1

2

，m），可得C（0，

m

2

），进而得到向量

BM

、

CM

和

AB

的坐标，结合题中向量等式建立x、y与m的等式，再消去m即可得到动点M的轨迹E的方程；
（2）设P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），可得PR直线的方程为（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．由直线PR、PN与题中的圆相切，运用距离公式算出(x0-2)b2+2y0b-x0=0、(x0-2)c2+2y0c-x0=0，可得b、c是方程(x0-2)x2+y₀x-x₀=0的两个根，运用根与系数的关系算出|b-c|关于x₀的式子，再代入计算△PRN的面积可得面积S关于x₀的表达式，最后利用基本不等式即可求出△PRN的面积的最小值．

解答：解：（1）设M(x，y)，B(-

1

2

，m)，则
∵点C满足2

OC

=

OA

+

OB

，∴点C是线段AB的中点，可得C（0，

m

2

）
由此可得：

BM

=(x+

1

2

，y-m)，

CM

=(x，y-

m

2

)，

AB

=(-1，m)
∵

e

=(0，1)，

BM

•

e

=0，

CM

•

AB

=0
∴可得

y-m=0 -x+m(y- m 2 )=0

，化简整理得

y=m x= m2 2

，
消去参数m得y²=2x，所以动点M的轨迹E的方程为y²=2x；…（4分）
（2）设P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
∴PR直线的方程为y=

y0-b

x0

x+b，整理得l_PR：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
∵圆（x-1）²+y²=1内切于△PRN，可得PR与圆相切，∴

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
注意到x₀＞2，化简得：(x0-2)b2+2y0b-x0=0，
同理可得：(x0-2)c2+2y0c-x0=0，
因此，b、c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两个不相等的实数根，…（8分）
根据根与系数的关系，化简整理可得|b-c|=

4y02+4x0(x0-2)

|x0-2|

=

2x0

x0-2

，
由此可得△PRN的面积为S =

1

2

•

2x0

x0-2

•x0=(x0-2)+

4

x0-2

+4≥8，
∴当x₀-2=

4

x0-2

时，即当x₀=4时，△PRN的面积的最小值为8．…（12分）

点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程并求了△PRN的面积的最小值．着重考查了抛物线的标准方程和简单性质、轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线关系等知识，属于中档题．