Question

已知函数f(x)=2

3

sin(ωx+

π

3

)(ω＞0)．
（1）若y=f(x+θ)(0＜θ＜

π

2

)是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）若g（x）=f（3x）在(0，

π

3

)上是增函数，求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

）（0＜θ＜

π

2

），
∴f（x+θ）=2

3

sin（ωx+ωθ+

π

3

）（0＜θ＜

π

2

），
又f（x+θ）是最小正周期为π的偶函数，
∴ω=2，
∴2θ+

π

3

=kπ+

π

2

，（k∈Z），又0＜θ＜

π

2

，
∴

π

3

＜2θ+

π

3

＜

4π

3

．
∴k=0，θ=

π

12

．
（2）∵g（x）=f（3x）=2

3

sin（3ωx+

π

3

）在（0，

π

3

）上是增函数，
∴由2kπ-

π

2

≤3ωx+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），ω＞0得：

2kπ- 5π 6

3ω

≤x≤

2kπ+ π 6

3ω

（k∈Z），
∵f（3x）=2

3

sin（3ωx+

π

3

）在（0，

π

3

）上是增函数，
∴

π

3

≤

π 6

3ω

，
∴0＜ω≤

1

6

．
∴ω_max=

1

6

．
当ω=

1

6

时，f（x）=2

3

sin（

1

6

x+

π

3

）．
∵x∈[0，π]，
∴

1

6

x+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]，
∴

3

2

≤sin（

1

6

x+

π

3

）≤1．
∴3≤2

3

sin（

1

6

x+

π

3

）≤2

3

．
∴当x∈[0，π]，f（x）=2

3

sin（

1

6

x+

π

3

）∈[3，2

3

]．