Question

已知函数

（1）判定并证明函数的奇偶性；

（2）试证明在定义域内恒成立；

（3）当时，恒成立，求m的取值范围.

 

Answer 1

（1）偶函数，（2）详见解析，（3）.

【解析】

试题分析：（1）判定函数的奇偶性，首先判定定义域是否关于原点对称，定义域为：关于原点对称，其次研究与的相等或相反的关系：所以为偶函数，（2）由于函数为偶函数，所以只需证明时，当时，，，恒成立，当时，所以，由（1）可知：，综上所述，在定义域内恒成立（3）恒成立问题一般利用变量分离法转化为最值问题. 恒成立对恒成立，∴ ，∴ ，令可证在[1,3]上为减函数 ∴对恒成立　∴ ，所以m的取值范围是.

试题解析：【解析】
（1）为偶函数，证明如下：

定义域为：关于原点对称，

对于任意有： 2分

成立

所以为偶函数 5分

（2）因为定义域为：，

当时，

，，恒成立， 7分

当时，所以，由（1）可知： 9分

综上所述，在定义域内恒成立 10分

（3）恒成立对恒成立，

∴ ，∴ ，令

证明在[1,3]上为减函数（略）（不证明单调性扣2分）

∴对恒成立　 12分

∴

所以m的取值范围是 14分

考点：函数奇偶性，函数单调性