Question

18．在抛物线y=4x²上有一点P，使这点到直线y=4x-5的距离最短，求该点P坐标和最短距离．

Answer 1

分析 根据抛物线的方程设出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出点P到直线y=4x-5的距离d，利用二次函数求最值的方法得到所求点P的坐标即可．

解答 解：设点P（t，4t²），点P到直线y=4x-5的距离为d，
则d=$\frac{|4t-4{t}^{2}-5|}{\sqrt{17}}$=$\frac{4（t-\frac{1}{2}）^{2}+4}{\sqrt{17}}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，d取得最小值，
此时P（$\frac{1}{2}$，1）为所求的点，最短距离为$\frac{4\sqrt{17}}{17}$

点评 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握二次函数求最值的方法，是一道中档题．