Question

12．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y²=4cx的准线被双曲线截得的弦长是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}b{e^2}$（e为双曲线的离心率），则e的值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的准线，根据准线和双曲线相交的弦长关系建立方程，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．

解答 解：∵抛物线y²=4cx的准线：x=-c，它正好经过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点，
∴当x=-c时，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，即y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即准线被双曲线C截得的弦长为：$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
∵抛物线y²=4cx的准线被双曲线截得的弦长是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}b{e^2}$，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$be²，
即：$\sqrt{2}$c²=3ab，
∴2c⁴=9a²（c²-a²），
∴2e⁴-9e²+9=0
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\sqrt{3}$，
又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，
∴渐近线y=$\frac{b}{a}$x的斜率$\frac{b}{a}$＜1，
即b＜c，则b²＜c²，
即c²-a²＜a²，
则c²＜2a²，
c＜$\sqrt{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$＜$\sqrt{2}$
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

点评 本题考查抛物线，双曲线的方程和性质，根据直线和双曲线相交的弦长建立方程关系结合直线和渐近线斜率之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度，注意a，b，c的关系c²=a²+b²的关系的应用．