Question

3．对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：
①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；
②‖z‖=‖$\overline{z}$‖；③‖z₁‖=‖z₂‖，则z₁=±z₂；
④对任何复数z₁，z₂，z₃，不等式‖z₁-z₃‖≤‖z₁-z₂‖+‖z₂-z₃‖恒成立，
其中真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，当z=0时，‖z‖=0；反之，当‖z‖=0时，z=0；在②中，z=a+bi，$\overline{z}$=a-bi，从而‖z‖=‖$\overline{z}$‖=|a|+|b|；在③中，当z₁=2+3i，z₂=3+2i时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z₁-z₃‖≤‖z₁-z₂‖+‖z₂-z₃‖恒成立．

解答 解：由复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，知：
在①中，对任何复数，都有‖z‖≥0，
当z=0时，‖z‖=0；反之，当‖z‖=0时，z=0，
∴等号成立的充要条件是z=0，故①成立；
在②中，∵z=a+bi，$\overline{z}$=a-bi，∴‖z‖=‖$\overline{z}$‖=|a|+|b|，故②成立；
在③中，当z₁=2+3i，z₂=3+2i时，‖z₁‖=‖z₂‖，但z₁≠±z₂，故③错误；
④对任何复数z₁，z₂，z₃，
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，z₃=a₃+b₃i，
则‖z₁-z₃‖=|a₁-a₃|+|b₁-b₃|，
‖z₁-z₂‖+‖z₂-z₃‖=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+|b₁-b₂|+|b₂-b₃|，
|a₁-a₃|≤|a₁-a₂|+|a₂-a₃|，
|b₁-b₃|≤|b₁-b₂|+|b₂-b₃|，
∴‖z₁-z₃‖≤‖z₁-z₂‖+‖z₂-z₃‖恒成立．故④成立．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．