Question

15．若一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示，主视图与左视图均为矩形，俯视图为一个正三角形．
（1）求这个三棱柱的表面积；
（2）若一根细从A点出发，在表面上绕到A₁，求绳子的最短长度．

Answer 1

分析 （1）由三视图还原原图形，可得原几何体是底面边长为4，高为3的正三棱柱，则三棱柱的表面积可求；
（2）把正三棱柱剪开再展开，利用勾股定理求得绳子的最短长度．

解答 解：（1）由三视图还原原几何体如图，
所得几何体为正三棱柱，正三棱柱的高为3，
设底面正三角形的边长为a，则$\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}$，得a=4．
∴正三棱柱的表面积为$2×\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}+3×4×3=36+8\sqrt{3}$；
（2）沿侧棱AA₁剪开再展开，如图，
绳子的最短长度为$\sqrt{1{2}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{153}$=$3\sqrt{17}$．

点评 本题考查由三视图求原几何体的表面积，考查剪展问题中的最值的求法，是中档题．