Question

4．设F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M（3，$\sqrt{2}$）在此双曲线上，且|MF₁|与|MF₂|的夹角的余弦值为$\frac{7}{9}$，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理求出|MF₁||MF₂|=9b²，利用点M（3，$\sqrt{2}$）在此双曲线上，得到$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，结合向量的数量积公式建立方程关系求出a，c即可得到结论．

解答 解：如图，在△MF₁F₂中，由余弦定理，
|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁||MF₂|cos∠F₁MF₂，
即4c²=（|MF₁|-|MF₂|）²+2|MF₁||MF₂|-2×$\frac{7}{9}$|PF₁||PF₂|
=4a²+$\frac{4}{9}$|MF₁||MF₂|，
则$\frac{4}{9}$|MF₁||MF₂|=4c²-4a²=4b²，
则|MF₁||MF₂|=9b²，
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=|MF₁||MF₂|×$\frac{7}{9}$=$\frac{7}{9}$×9b²=7b²，
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-c-3，-$\sqrt{2}$）•（c-3，-$\sqrt{2}$）=-（c²-9）+2=11-c²．
∴11-c²=7b²，
即11-a²-b²=7b²，则a²=11-8b²，
∵M（3，$\sqrt{2}$）在此双曲线上，
∴$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，将a²=11-8b²，代入$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{b}^{2}}$=1得$\frac{9}{11-8{b}^{2}}$-$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，
整理得4b⁴+7b²-11=0，
即（b²-1）（4b²+11）=0，
则b²=1，a²=11-8b²=11-8=3，c²=11-7b²=11-7=4，
则a=$\sqrt{3}$，c=2，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据余弦定理以及向量的数量积公式建立方程关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．