Question

8．设函数f（x）=x²-alnx，g（x）=x²-x．若x∈（1，+∞），恒有函数f（x）的图象位于g（x）图象的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得x²-alnx＞x²-x在x＞1恒成立，则a＜$\frac{x}{lnx}$在x＞1恒成立，令h（x）=$\frac{x}{lnx}$（x＞1），求出单调区间可得最小值，由恒成立思想可得a的范围．

解答 解：由题意可得x²-alnx＞x²-x在x＞1恒成立，
则a＜$\frac{x}{lnx}$在x＞1恒成立，
令h（x）=$\frac{x}{lnx}$（x＞1），
则h′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，
当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=e取得极小值，也为最小值，且为e，
则a＜e．
即a的取值范围是（-∞，e）．

点评 本题考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离的方法以及导数的运用：求最值，属于中档题．