【题目】已知函数(
),
.
(1)求函数单调区间;
(2)当时,
①求函数在
上的值域;
②求证:,其中
,
.(参考数据
)
【答案】(1)见解析;(2) ①;②见解析.
【解析】试题分析: (1)先求导数,再研究导函数符号:当时,恒为正;当
时,有正有负,根据符号规律确定单调区间,(2)①易得函数
在
单调性:先减后增,故在极小值点处取最小值,最大值为两端点值的较大值,②由所证不等式的结构知,先研究数列求和:令
,可得
,再比较对应项大小:
,这样转化为证明不等式
,利用导数研究函数
单调性,即可证得.
试题解析:(1)∵.
①当时,
,
在
单调递增;
②当时,令
,得
,即
,
∴在
上单调递减,在
单调递增.
(2)时,
.
①由,令
,
∴在
单调递减,
单调递增,且由
,
,
∴值域为.
②由,设
为
前
项和,
,
则,
设,
,
在
单调递减,
,∴
,
∴,即
时,
,
∴,故原不等式成立.
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【题目】《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税,超过3500元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累计计算:
全月应纳税所得额 | 税率(%) |
不超过1500元的部分 | 3 |
超过1500元至4500元的部分 | 10 |
超过4500元至9000元的部分 | 20 |
(1)某人10月份应交此项税款为350元,则他10月份的工资收入是多少?
(2)假设某人的月收入为元,
,记他应纳税为
元,求
的函数解析式.
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【题目】已知数列的前
项和为
,且满足
,求数列
的通项公式.勤于思考的小红设计了下面两种解题思路,请你选择其中一种并将其补充完整.
思路1:先设的值为1,根据已知条件,计算出
_________,
__________,
_________.
猜想: _______.
然后用数学归纳法证明.证明过程如下:
①当时,________________,猜想成立
②假设(
N*)时,猜想成立,即
_______.
那么,当时,由已知
,得
_________.
又,两式相减并化简,得
_____________(用含
的代数式表示).
所以,当时,猜想也成立.
根据①和②,可知猜想对任何N*都成立.
思路2:先设的值为1,根据已知条件,计算出
_____________.
由已知,写出
与
的关系式:
_____________________,
两式相减,得与
的递推关系式:
____________________.
整理: ____________.
发现:数列是首项为________,公比为_______的等比数列.
得出:数列的通项公式
____,进而得到
____________.
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【题目】已知函数f(x)=.
(1)求f(2)与f, f(3)与f
;
(2)由(1)中求得结果,你能发现f(x)与f有什么关系?并证明你的发现;
(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f+f
+…+f
.
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【题目】甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程关于时间
的函数关系式分别为
,
,
,
,有以下结论:
①当时,甲走在最前面;
②当时,乙走在最前面;
③当时,丁走在最前面,当
时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为 (把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分).
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
:
,曲线
:
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线,
的极坐标方程;
(Ⅱ)曲线:
(
为参数,
,
)分别交
,
于
,
两点,当
取何值时,
取得最大值.
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【题目】如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E是棱PD的中点,点F是PC的中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)若底面ABCD为正方形,,求二面角C—AF—D大小.
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