Question

已知函数f(x)=sin(x+

7

4

π)+cos(x-

3

4

π)，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）已知cos(β-a)=

4

5

，cos(β+α)=-

4

5

，(0＜α＜β≤

π

2

)，求证：[f（β）]²-2=0．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；根据正弦函数的对称中心即可确定出f（x）的对称中心；
（2）已知等式利用两角和与差的余弦函数公式化简，得到两个关系式，相加得到cosαcosβ=0，根据α与β的范围求出β的度数，进而确定出f（β）的值，代入等式左边计算即可得证．

解答：解：（1）f（x）=sinxcos

7π

4

+cosxsin

7π

4

+cosxcos

3π

4

+sinxsin

3π

4

=

2

sinx-

2

cosx=2sin（x-

π

4

），
∵ω=1，∴T=2π，
由x-

π

4

=kπ，k∈Z，得：x=kπ+

π

4

，k∈Z，
则f（x）的最小正周期为2π，对称中心为（kπ+

π

4

，0）（k∈Z）；
（2）cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

，①；cos（β+α）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

4

5

，②，
①+②得：cosαcosβ=0，
∵0＜α＜β≤

π

2

，
∴cosβ=0，即β=

π

2

，
∴f（β）=

2

，
则[f（β）]²=2，即[f（β）]²-2=0．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．