Question

设A、B分别为椭圆＝1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x＝4是它的右准线．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线BP与椭圆相交于两点B、N，求证：∠NAP为锐角．

Answer 1

（1）＝1（2）见解析

(1)解：依题意，得解得从而b＝，故椭圆的方程为＝1.
(2)证明：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，设N(x₀，y₀)，
∵N点在椭圆上，∴＝(4－)．又N点异于顶点A、B，
∴－2<x₀<2，y₀≠0.由P、B、N三点共线可得P，从而＝(x₀＋2，y₀)，＝，则·＝6x₀＋12＋＝6x₀＋12－(2＋x₀)＝(x₀＋2)．
∵x₀＋2>0，y₀≠0，∴·>0，于是∠NAP为锐角．