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    【题目】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ（1-cos2θ）=8cosθ，直线ρcosθ=1与曲线C相交于M，N两点，直线l过定点P（2，0）且倾斜角为α，l交曲线C于A，B两点．

    （1）把曲线C化成直角坐标方程，并求|MN|的值；

    （2）若|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，求直线l的倾斜角α．

    【答案】（1）y2=4x,4（2）α=或α=

    【解析】

    （1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x，由ρcosθ=1得x=1，联立直线与抛物线解得M，N的坐标后可求得|MN|；

    （2）因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|PA||PB|=|MN|2=16，联立直线l的参数方程与抛物线，根据参数的几何意义可得．

    解：（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，

    ∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x．

    由ρcosθ=1得x=1，

    由的M（1，2），N（1，-2），∴|MN|=4．

    （2）直线l的参数方程为：(t为参数)，联立直线l的参数方程与曲线C：y2=4x，

    得t2sin2α-4tcosα-8=0，

    设A，B两点对应的参数为t1，t2，

    则t1+t2=，t1t2=-，

    因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，

    ∴|PA||PB|=|MN|2=16，

    ∴|t1||t2|=16，∴|t1t2|=16，

    ∴=16，∴sin2α=，

    ∵0≤α＜π，

    ∴sinα=，

    ∴α=或α=．

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    【题目】已知抛物线x2=4y．

    （1）求抛物线在点P（2，1）处的切线方程；

    （2）若不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点（如图所示），且OA⊥OB，|OA|=|OB|，求直线l的斜率．

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    【题目】某公司租用一个门店作展馆，准备对其公司生产的某型产品进行为期一年的展出。为此，需对门店进行装修，展出结束，门店不再使用，现市面上有某品牌的型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：

    门店装修时，需安装该品牌节能灯支（同种型号）.经了解，型瓦和B型瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装。已知型和型节能灯每支的价格分别为元、元，当地商业电价为元/千瓦时。假定该店面一年周转期的照明时间为小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换。（用频率估计概率）

    （1）根据频率直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；

    （2）根据统计知识，若一支灯管一年内需要更换的概率为，那么支灯管一年内估计需要更换支.若该商家新店面全部安装型节能灯，试估计一年内需更换的支数；

    （3）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】2018年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山理念，以前所未有的决心和力度加强生态环境保护.某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况，并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业2012年至2017年在环保方面投入金额（单位：万元）的柱状图.

    （Ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；（结果保留整数）

    （Ⅱ）园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：若企业一年的环保投入金额不超过200万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金额超过200万元，不超过300万元，则该年奖励20万元；若企业一年的环保投入金额超过300万元，则该年奖励50万元.

    （ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和；

    （ⅱ）现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率.

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    【题目】已知函数.

    （Ⅰ）当时，判断函数的单调性；

    （Ⅱ）当时，证明：.（为自然对数的底数）

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    【题目】椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且。

    （1）球椭圆的方程；

    （2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

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    【题目】已知椭圆: 的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

    （Ⅰ）当，且直线 轴时， 求四边形的面积；

    （Ⅱ）设，直线与直线相交于点，求证：三点共线.

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    【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.

    （1）证明：平面平面.

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    （1）若，求曲线在点处的切线方程；

    （2）若只有一个零点，且，求的取值范围.

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