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【题目】已知抛物线x2=4y

(1)求抛物线在点P(2,1)处的切线方程;

(2)若不过原点的直线l与抛物线交于AB两点(如图所示),且OAOB,|OA|=|OB|,求直线l的斜率.

【答案】(1)y=x-1; (2)

【解析】

(1)方法一,利用导数的几何意义即可求出切线方程; 方法二,利用判别式即可求出切线方程;

(2)设直线l方程以及AB两点坐标,根据根与系数的关系,以及相似三角形即可求出.

解:(1)方法一:点P(2,1)在抛物线上,即y=x2

y′=x

切线的斜率k=y′|=×2=1,

抛物线在点P(2,1)处的切线方程为y=x-1,

方法二:设抛物线在点P(2,1)处的切线方程为y-1=kx-2),(k>0),y=kx+1-2k

代入到x2=4y,可得x2-4kx+8k-4=0,

△=16k2-4(8k-4)=0,

解得k=1,

抛物线在点P(2,1)处的切线方程为y=x-1,

(2)设直线l方程为:y=kx+m,(k>0,m>0),Ax1y1),Bx2y2),

,消去yx2-4kx-4m=0,

x1+x2=4kx1x2=-4m

OAOB

=0,

x1x2+y1y2=0,

x1x2+=0,

解得x1x2=-16,或x1x2=0(舍去

∴-4m=-16,

m=4,

过点AB两点分别作x轴的垂线,垂足为A1B1

OAOB

∴∠AOB=90°,

∵∠AOB+∠AOA1+∠BOB1=180°,

∴∠AOA1+∠BOB1=90°,

∵∠OBB1+∠BOB1=90°,

∴∠AOA1=∠OBB1

RtAA1ORtOB1B

==

y2=-8x1x22=-32x1

x1x2=-16,

x1=-2,x2=8,

x1+x2=6=4k

解得k=

直线l的斜率为

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