【题目】已知抛物线x2=4y.
(1)求抛物线在点P(2,1)处的切线方程;
(2)若不过原点的直线l与抛物线交于A,B两点(如图所示),且OA⊥OB,|OA|=|OB|,求直线l的斜率.
【答案】(1)y=x-1; (2)
【解析】
(1)方法一,利用导数的几何意义即可求出切线方程; 方法二,利用判别式即可求出切线方程;
(2)设直线l方程以及AB两点坐标,根据根与系数的关系,以及相似三角形即可求出.
解:(1)方法一:点P(2,1)在抛物线上,即y=x2,
∴y′=x,
∴切线的斜率k=y′|=×2=1,
∴抛物线在点P(2,1)处的切线方程为y=x-1,
方法二:设抛物线在点P(2,1)处的切线方程为y-1=k(x-2),(k>0),即y=kx+1-2k,
代入到x2=4y,可得x2-4kx+8k-4=0,
由△=16k2-4(8k-4)=0,
解得k=1,
∴抛物线在点P(2,1)处的切线方程为y=x-1,
(2)设直线l方程为:y=kx+m,(k>0,m>0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由,消去y得x2-4kx-4m=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4m,
∵OA⊥OB,
∴=0,
∴x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+=0,
解得x1x2=-16,或x1x2=0(舍去)
∴-4m=-16,
∴m=4,
过点A,B两点分别作x轴的垂线,垂足为A1,B1,
∵OA⊥OB,
∴∠AOB=90°,
∵∠AOB+∠AOA1+∠BOB1=180°,
∴∠AOA1+∠BOB1=90°,
∵∠OBB1+∠BOB1=90°,
∴∠AOA1=∠OBB1,
∴Rt△AA1O∽Rt△OB1B,
∴==,
∴y2=-8x1
∵x1x2=-16,
∴x1=-2,x2=8,
∴x1+x2=6=4k,
解得k=,
∴直线l的斜率为.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)在平面直角坐标系中,将曲线的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到曲线,过点作直线,交曲线于两点,若,求直线的斜率.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是 (为参数),以原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线与曲线交于, 两点,与轴交于点,求.
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【题目】已知和是椭圆的两个焦点,且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线(m>0)与椭圆C有且仅有一个公共点,且与x轴和y轴分别交于点M,N,当△OMN面积取最小值时,求此时直线的方程.
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【题目】在直角坐标系中,点在倾斜角为的直线上,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的方程为.
(1)写出的参数方程及的直角坐标方程;
(2)设与相交于两点,求的最小值.
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【题目】已知数列的前项和,对任意正整数,总存在正数使得, 恒成立:数列的前项和,且对任意正整数, 恒成立.
(1)求常数的值;
(2)证明数列为等差数列;
(3)若,记 ,是否存在正整数,使得对任意正整数, 恒成立,若存在,求正整数的最小值,若不存在,请说明理由.
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【题目】设函数的定义域为,若满足条件:存在区间,使在上的值域为,则称为“不动函数”.
(1)求证:函数是“不动函数”;
(2)若函数是“不动函数”,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数.
(1)当时,解不等式;
(2)画出该函数的图象,并写出该函数的单调区间(不用证明);
(3)若函数恰有3个不同零点,求实数的取值范围.
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