Question

【题目】已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得， 恒成立：数列的前项和，且对任意正整数， 恒成立.

（1）求常数的值；

（2）证明数列为等差数列；

（3）若，记 ，是否存在正整数，使得对任意正整数， 恒成立，若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）正整数的最小值为4

【解析】试题分析：（1）根据， ，可得，根据题意令和，即可求出，从而求出；（2）由，得，两式做差得，从而可证数列为等差数列；（3）根据（2）可得，结合（1），表示出，作出，然后令，即可求出的最大值，从而求出正整数的最小值.

试题解析：（1）∵①

∴②，，

①-②得： ，即， ，

又

∴， ，

时， ； 时， .

∵为正数

∴.

又∵， ，且

∴.

（2）∵③

∴当时， ④，

∴③-④得： ，即⑤，

又∵⑥

∴⑤+⑥得： ，即

∴为等差数列.

（3）∵， ，由（2）知为等差数列

∴.

又由（1）知，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

令得，

∴，解得，

∴时， ，即，

∵时， ，

∴，即.

此时，即，

∴的最大值为

若存在正整数，使得对任意正整数， 恒成立，则，

∴正整数的最小值为4.