【题目】已知数列中,
,
(
且
).
(1)求的值;
(2)是否存在实数,使得数列
为等差数列?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由;
(3)设数列的前n项和为
,求
.
【答案】(1),
(2)存在,
(3)
【解析】
(1)由 ,及递推公式
,计算即可求得
的值;
(2) 设,利用
,求得
,再证明
即证得存在实数
,使得数列
为等差数列;
(3) 由(2)知,数列为首项是2,公差是1的等差数列,求得
,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.
解:(1),
,
.
(2)方法一:假设存在实数,使得数列
为等差数列,
设,由
为等差数列,则有
,
,
,解得
.
又.
,所以存在实数
,使得数列
为首项是2,公差是1的等差数列.
方法二:设,
,
∴当时,
为常数,此时
,
所以存在实数,使得数列
为首项是2,公差是1的等差数列.
方法三:,
,两边同除
得
,
即,又
,
所以存在实数,使得数列
为首项是2,公差是1的等差数列.
(3)由(2)知,数列为首项是2,公差是1的等差数列,
,
,
记,则
,令
,则
,
①
②
①-②得
,
.
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【题目】过平面直角坐标系中的点P(4-3a,)(a∈R)作圆x2+y2=1的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则数量积
的最小值为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某城市的电视发射搭CD建在市郊的一座小山上,如图所示,小山高BC为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离为50米.
(1)如果从点A观测电视发射塔的视角∠CAD=,求这座电视发射塔的高度;
(2)点A在何位置时,角∠CAD最大.(参考数据:)
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【题目】(本小题满分13分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊,无法确认, 在图中以表示.
(Ⅰ)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为, 求
及乙组同学投篮命中次数的方差;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名, 记事件A:“两名同学的投篮命中次数之和为17”, 求事件A发生的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)在平面直角坐标系中,将曲线的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到曲线
,过点
作直线
,交曲线
于
两点,若
,求直线
的斜率.
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【题目】设,
是两条不同的直线,
,
,
是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,
,则
②若,
,
,则
③若,
,则
④若,
,则
其中正确命题的序号是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线与圆C相切,圆心C的坐标为
(1)求圆C的方程;
(2)设直线y=x+m与圆C交于M、N两点.
①若,求m的取值范围;
②若OM⊥ON,求m的值.
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【题目】2017年“十一”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速()分成六段:
,
,
,
,
,
,后得到如图的频率分布直方图.
(1)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值;
(2)若从车速在的车辆中任抽取2辆,求车速在
的车辆恰有一辆的概率.
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【题目】已知数列的前
项和
,对任意正整数
,总存在正数
使得
,
恒成立:数列
的前
项和
,且对任意正整数
,
恒成立.
(1)求常数的值;
(2)证明数列为等差数列;
(3)若,记
,是否存在正整数
,使得对任意正整数
,
恒成立,若存在,求正整数
的最小值,若不存在,请说明理由.
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